Matemáticas.
1.2 Proposiciones y cuantificadores.
1.3 Métodos de demostración.
2. Aproximación a la axiomática de la teoría de conjuntos. Relaciones binarias. Ordenación total. Relaciones de equivalencia. Conjunto cociente. Cardinalidad.
2.2 Relaciones binarias.
2.3 Ordenación total. Conjuntos bien ordenados. Inducción.
2.4 Relaciones de equivalencia. Conjunto cociente.
3. Números naturales. Axiomas. Teorema de Recursión. Operaciones binarias. Orden.
3.1 Los números naturales. Concepto.
3.2 Axiomas.
3.3 Números naturales y recursividad. Teorema de Recursión.
3.4 Operaciones binarias.
3.5 Orden en los números naturales.
4. Combinatoria. Permutaciones cíclicas. Grupos de permutaciones. Aplicaciones.
4.1 Combinatoria. Conceptos fundamentales.
4.2 Números combinatorios.
4.3 Permutaciones cíclicas.
4.4 Grupos de permutaciones.
4.5 Aplicaciones.
5. Fundamentos y aplicaciones de la teoría de grafos. Grafos eulerianos y hamiltonianos. Diagramas en árbol.
5.1 El lenguaje de los grafos. Fundamentos.
5.2 Matrices asociadas a grafos.
5.3 Grafos eulerianos y hamiltonianos.
5.4 Diagramas en árbol.
5.5 Aplicaciones de la teoría de grafos. Problemas clásicos.
6. Números enteros. Divisibilidad. Números primos. Ecuaciones diofánticas.
6.1 Los números enteros. Concepto y operaciones. Propiedades.
6.2 Orden en los números enteros.
6.3 Divisibilidad.
6.4 Números primos.
6.5 Ecuaciones diofánticas.
7. Congruencias. Propiedades. Criterios de divisibilidad. El pequeño teorema de Fermat.
7.1 Congruencias. Definición y propiedades.
7.2 Criterios de divisibilidad.
7.3 El pequeño teorema de Fermat.
7.4 Aplicaciones.
8. Grupos. Subgrupos. El teorema de Lagrange. Grupo cociente. Teoremas de isomorfía.
8.1 Operaciones binarias. Grupos.
8.2 Subgrupos.
8.3 El teorema de Lagrange.
8.4 Grupo cociente.
8.5 Teoremas de isomorfía.
9. Anillos euclideos. Ejemplos. Divisibilidad en un anillo euclideo. La identidad de Bezout.
9.1 Definición, características y elementos.
9.2 Ideales. Anillos cociente.
9.3 Anillos euclideos. Ejemplos.
9.4 Divisibilidad en un anillo euclideo.
9.5 La identidad de Bezout.
10. El cuerpo de los números racionales. Ordenación de Q. Densidad de Q. Sucesiones.
10.1 El cuerpo de los números racionales.
10.2 Propiedades de Q.
10.3 Ordenación de Q.
10.4 Densidad de Q.
10.5 Sucesiones de números racionales.
11. Sucesivas ampliaciones del concepto de número. Números reales. Topología de la recta real. Evolución histórica.
11.1 Sucesivas ampliaciones del concepto de número.
11.2 Los números irracionales y transcendentes.
11.3 Construcciones de los números reales.
11.4 El cuerpo de los números reales.
11.5 Topología de la recta real.
12. El cuerpo de los números complejos. Aplicaciones geométricas. Utilización de complejos en diferentes campos científicos y tecnológicos.
12.2 Orden en C.
12.3 El plano complejo. Aplicaciones geométricas.
12.4 Utilización de los números complejos en diferentes campos científicos y tecnológicos.
12.5 Evolución histórica del concepto de número.
13. El anillo de polinomios. Divisibilidad y factorización. Aplicación del Teorema Fundamental del Álgebra. Criterios de irreducibilidad de polinomios.
13.1 El anillo de polinomios.
13.2 Divisibilidad y factorización.
13.3 Aplicación del Teorema Fundamental del Álgebra.
13.4 Criterios de irreducibilidad de polinomios.
14. Ecuaciones algebraicas. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de raíces.
14.1 Ecuaciones Algebraicas. Raíces.
14.2 Resolución de ecuaciones.
14.3 Aproximación numérica de raíces.
14.4 Evolución histórica.
15. Espacio vectorial. Subespacios. Bases y dimensión. Teorema de la base. Teoremas de isomorfía.
15.1 Concepto de Espacio vectorial. Elementos y propiedades.
15.2 Subespacios.
15.3 Bases y dimensión de un espacio vectorial.
15.4 Teorema de la base.
15.5 Teoremas de isomorfía.
16. Matrices. Matrices y aplicaciones lineales. Cambio de base. Álgebra de matrices. Aplicaciones en Ciencias Sociales y de la Naturaleza.
16.1 Concepto y propiedades.
16.2 Matrices y aplicaciones lineales.
16.3 Cambio de base.
16.4 Álgebra de matrices.
16.5 Aplicaciones en Ciencias Sociales y en la Naturaleza.
17. Aplicaciones multilineales entre espacios vectoriales. Determinantes. Propiedades. Utilización en diferentes campos.
17.1 Aplicaciones multilineales entre espacios vectoriales.
17.2 Determinantes.
17.3 Propiedades.
17.4 Utilización en diferentes campos.
18. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Teorema de Rouché. Regla de Cràmer. Métodos de Gauss y Gauss-Jordan. Aplicación a la resolución de problemas.
18.1 Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
18.2 Teorema de Rouché.
18.3 Regla de Cràmer.
18.4 Métodos de Gauss y Gauss-Jordan.
18.5 Aplicación a la resolución de problemas.
19. Valores y vectores propios de una aplicación lineal. Subespacios invariantes. Formas canónicas de Jordan.
19.1 Aplicaciones lineales, definición y propiedades.
19.2 Matrices de aplicaciones lineales. Núcleo e imagen.
19.3 Valores y vectores propios de una aplicación lineal.
19.4 Subespacios invariantes.
19.5 Formas canónicas de Jordan.
20. Características básicas de los problemas de programación lineal. El Método del Simplex. Modelos de redes. Relación entre redes y programación lineal. Aplicaciones.
20.1 Características básicas de los problemas de programación lineal.
20.2 El Método del Simplex.
20.3 Modelos de redes.
20.4 Relación entre redes y programación lineal.
20.5 Aplicaciones.
21. Sucesiones de números reales. Sucesiones de Cauchy. Límites. Teorema de Bolzano-Weierstrass.
21.1 Sucesiones de números reales.
21.2 Sucesiones de Cauchy.
21.3 Límites.
21.4 Teorema de Bolzano-Weierstrass.
22. Series numéricas y convergencia. Convergencia absoluta y condicional. Aplicaciones.
22.1 Series numéricas.
22.2 Convergencia.
22.3 Convergencia absoluta y condicional.
22.4 Aplicaciones.
23. Funciones reales de variable real. Límites y Continuidad. Continuidad uniforme. Funciones elementales. Situaciones reales en las que aparecen.
23.1 Funciones reales de variable real.
23.2 Límites y Continuidad.
23.3 Continuidad uniforme.
23.4 Funciones elementales.
23.5 Situaciones reales en las que aparecen las funciones.
24. Funciones dadas en forma de tabla. Interpolación polinómica. Interpolación y extrapolación de datos. Aplicaciones.
24.1 Funciones dadas en forma de tabla.
24.2 Interpolación polinómica.
24.3 Interpolación y extrapolación de datos.
24.4 Aplicaciones.
25.1 Funciones derivables.
25.2 Función derivada.
25.3 Derivadas sucesivas.
25.4 Integración numérica Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Regla de L’Hôpital.
25.5 Aplicaciones.
26. Sucesiones y series de funciones. Convergencia uniforme y continuidad, derivación e integración.
26.1 Definición y propiedades.
26.2 Convergencia uniforme.
26.3 Continuidad.
26.4 Derivación.
26.5 Integración.
27. Desarrollo de una función en serie de potencias. El polinomio de Taylor. Teorema de Taylor. Aplicación al estudio local de funciones.
27.1 Desarrollo de una función en serie de potencias.
27.2 El polinomio de Taylor.
27.3 Teorema de Taylor.
27.4 Aplicación al estudio local de funciones.
28. Definición de diferencial de una función de varias variables. Gradientes y derivadas direccionales. Derivadas parciales y derivadas parciales iteradas.
28.1 Definición de diferencial de una función de varias variables.
28.2 Gradientes y derivadas direccionales.
28.3 Derivadas parciales.
28.4 Derivadas parciales iteradas.
29. Optimización. Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange. Aplicación a la resolución de problemas de otros campos de la Matemática y del conocimiento.
29.1 Definición y propiedades.
29.2 Extremos condicionados.
29.3 Multiplicadores de Lagrange.
29.4 Aplicación a la resolución de problemas.
30. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Definiciones y ejemplos. Ecuaciones con variables separables, homogéneas y exactas. Campo de pendientes. Interpretación geométrica. Algunos modelos: enfriamiento y desintegración radioactiva.
30.1 Definiciones y ejemplos.
30.2 Ecuaciones con variables separables, homogéneas y exactas.
30.3 Campo de pendientes.
30.4 Interpretación geométrica.
30.5 Algunos modelos: enfriamiento y desintegración radioactiva.
31. El cálculo del área de regiones planas. Integral de Riemann. Teorema Fundamental del Cálculo integral. Aplicaciones.
31.1 El cálculo del área de regiones planas.
31.2 Integral de Riemann.
31.3 Teorema Fundamental del Cálculo integral.
31.4 Aplicaciones.
32. La medida de Lebesgue en Rn. Caracterización de conjuntos medibles. Funciones medibles. Aplicaciones a otros campos.
32.1 La medida de Lebesgue en Rn.
32.2 Caracterización de conjuntos medibles.
32.3 Funciones medibles.
32.4 Aplicaciones a otros campos.
33. La integral de Lebesgue en Rn. Teoremas de convergencia. Relación con la Integral de Riemann.
33.1 La integral de Lebesgue en Rn.
33.2 Teoremas de convergencia.
33.3 Relación con la Integral de Riemann.
33.4 Aplicaciones.
34. Integración numérica. Métodos y aplicaciones.
34.1 Integración numérica.
34.2 Propiedades.
34.3 Métodos.
34.4 Aplicaciones.
35. Integrales de línea. Integrales de superficie. Los teoremas de Green, de Stokes y de Gauss: Significado físico y geométrico. Aplicaciones.
35.1 Integrales de línea.
35.2 Integrales de superficie.
35.3 Los teoremas de Green, de Stokes y de Gauss: significado físico y geométrico.
35.4 Aplicaciones.
36. Los teoremas de la función implícita y de la función inversa.
36.1 Teorema de la función implícita.
36.2 Teorema de la función inversa.
36.3 Aplicaciones.
37. El plano Euclídeo. Figuras planas. Polígonos y circunferencias. Elementos y propiedades. La geometría del triángulo.
37.1 Definición del El plano Euclídeo.
37.2 Figuras planas.
37.3 Polígonos y circunferencias.
37.4 Elementos y propiedades.
37.5 La geometría del triángulo.
38. Proporciones y medidas. Concepto de magnitud. Proporcionalidad entre magnitudes. Proporciones notables. Presencia en la naturaleza y en las configuraciones artísticas y culturales. Aplicaciones al arte y a la técnica.
38.1 Concepto de magnitud.
38.2 Proporcionalidad entre magnitudes.
38.3 Proporciones notables.
38.4 Presencia en la naturaleza y en las configuraciones artísticas y culturales.
38.5 Aplicaciones al arte, a la técnica y a la arquitectura.
39. Proporcionalidad de segmentos. Homotecia y semejanza en el plano. Razones trigonométricas. Aplicaciones a la resolución de problemas geométricos y tecnológicos.
39.1 Homotecia en el plano.
39.2 Homotecia en el espacio.
39.3 Semejanza en el plano.
39.4 Razones trigonométricas.
39.5 Aplicaciones a la resolución de problemas geométricos y tecnológicos.
40. Movimientos en el plano y en el espacio. Modulaciones lineales y planas: Frisos, mosaicos y rosetas. Elementos. Mosaicos espaciales. Empaquetamientos. Presencia en la Naturaleza y en el Arte.
40.1 Movimientos en el plano.
40.2 Modulaciones lineales y planas: frisos, mosaicos y rosetas. Teselaciones.
40.3 Movimientos en el espacio.
40.4 Mosaicos espaciales. Empaquetamientos.
40.5 Presencia en la Naturaleza y en el Arte.
41. Poliedros. Teorema de Euler. Poliedros regulares y semiregulares. Sólidos arquimedianos. Dualidad.
41.1 Poliedros. Elementos y características.
41.2 Teorema de Euler.
41.3 Poliedros regulares y semiregulares.
41.4 Sólidos arquimedianos.
41.5 Dualidad en el espacio euclídeo.
42. Cuerpos de revolución. Elementos característicos. Cálculo de volúmenes. Cálculo de áreas de superficies de revolución.
42.1 Definición y propiedades.
42.2 Elementos característicos.
42.3 Cálculo de volúmenes.
42.4 Cálculo de áreas de superficies de revolución.
42.5 Aplicaciones y utilización en el Arte y en la Técnica.
43. Curvas cíclicas. Espirales y hélices. Evolventes de rectas y de curvas. Estudio histórico de las curvas y su utilización en el Arte y en la Técnica.
43.1 Definición de curvas cíclicas.
43.2 Espirales y hélices.
43.3 Envolventes en el plano.
43.4 Evolutas e involutas en el plano.
43.5 Estudio histórico de las curvas y su utilización en el Arte y en la Técnica.
44. Espacio Afín. Subespacios afines. Variedades afines. Incidencia y paralelismo. Referencias Afines: Coordenadas.
44.1 Espacio Afín. Definición y propiedades.
44.2 Subespacios afines.
44.3 Variedades afines.
44.4 Incidencia y paralelismo.
44.5 Referencias Afines: Coordenadas.
45. Espacio Afín Euclideo. Bases ortonormales. Aplicaciones autoadjuntas y ortogonales. Estructura de las aplicaciones lineales no singulares.
45.1 Espacio Afín Euclideo. Definición y propiedades.
45.2 Bases ortonormales.
45.3 Aplicaciones autoadjuntas y ortogonales.
45.4 Estructura de las aplicaciones lineales no singulares.
46. Formas bilineales y cuadráticas. Ley de inercia de las formas cuadráticas.
46.1 Formas bilineales. Definición y propiedades.
46.2 Expresión matricial de una forma bilineal.
46.3 Formas cuadráticas: Definición y propiedades.
46.4 Clasificación de las formas cuadráticas.
46.5 Ley de inercia.
47. Cónicas. Determinación. Invariantes: Forma canónica. Clasificación. Las cónicas como secciones del cono y como lugares geométricos. Aplicaciones.
47.1 Determinación del tipo de una cónica.
47.2 Invariantes: Forma canónica.
47.3 Propiedades de las cónicas. Clasificación.
47.4 Las cónicas como secciones del cono y como lugares geométricos.
47.5 Aplicaciones.
48. Cuerpos cuadráticos.
48.1 Las cuádricas.
48.2 Propiedades.
48.3 Clasificación afín y métrica de las cuádricas.
48.4 Aplicaciones a la ciencia y a la tecnología.
49. Geometría diferencial de curvas. Curvas regulares. Curvatura y torsión de una curva. Triedro de Frenet. Orientación.
49.1 Geometría diferencial de curvas.
49.2 Curvas regulares.
49.3 Curvatura y torsión de una curva.
49.4 Triedro de Frenet.
49.5 Orientación.
50. Geometría diferencial de superficies. Superficies regulares. Plano tangente. Primera y segunda forma fundamental. Curvatura normal. Líneas de curvatura. Aplicaciones.
50.1 Superficies regulares.
50.2 Plano tangente.
50.3 Primera y segunda forma fundamental.
50.4 Curvatura normal.
50.5 Líneas de curvatura.
51. Geometrías no euclídeas. Geometría hiperbólica. Geometría esférica. Aplicaciones. Evolución histórica de la geometría.
51.1 Características de las Geometrías no euclídeas.
51.2 Geometría hiperbólica.
51.3 Geometría esférica. Triángulos esféricos.
51.4 Aplicaciones.
51.5 Evolución histórica de la geometría.
52. La Geometría fractal. Dimensión fractal. Recursividad y autosemejanza. Curvas fractales. Aplicaciones a otros campos del conocimiento.
52.1 Introducción a la geometría fractal.
52.2 Dimensión fractal.
52.3 Recursividad y autosemejanza.
52.4 Curvas fractales.
52.5 Aplicaciones a otros campos del conocimiento.
53. Espacios topológicos. Base de una topología. Ejemplos de aplicación.
53.1 Espacios topológicos. Entornos.
53.2 Bases y subbases.
53.3 Subespacios topológicos.
53.4 Ejemplos de aplicación.
54. Producto escalar en Rn. Ángulos y vectores. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Desigualdad triangular.
54.1 Producto escalar en Rn.
54.2 Ángulos y vectores.
54.3 Desigualdad de Cauchy-Schwarz.
54.4 Desigualdad triangular.
54.5 Aplicaciones del producto escalar.
55. Bolas abiertas y cerradas. Conjuntos abiertos y cerrados. Conjuntos compactos. Aplicaciones continúas de Rn en Rm. Propiedades de las aplicaciones continuas.
55.1 Bolas abiertas y cerradas.
55.2 Conjuntos abiertos y cerrados.
55.3 Conjuntos compactos.
55.4 Aplicaciones continuas de Rn en Rm.
55.5 Propiedades de las aplicaciones continuas.
56. Usos de la Estadística: Estadística descriptiva y Estadística inferencial. Elementos básicos y métodos estadísticos. Aplicaciones al estudio de situaciones y toma de decisiones. Estudio histórico de la Estadística.
56.1 Estadística descriptiva y Estadística inferencial.
56.2 Elementos básicos.
56.3 Métodos estadísticos.
56.4 Aplicaciones al estudio de situaciones y toma de decisiones.
56.5 Estudio histórico de la Estadística.
57. Parámetros estadísticos. Cálculo, significado y propiedades. Aplicaciones.
57.1 Parámetros estadísticos. Tipos y significado.
57.2 Cálculo de los parámetros estadísticos.
57.3 Propiedades de los parámetros estadísticos.
57.4 Usos y aplicaciones.
58. Desigualdad de Tchebyschev. Coeficiente de variación. Variable normalizada. Aplicación al análisis, interpretación y comparación de datos estadísticos.
58.1 Desigualdad de Tchebyschev.
58.2 Coeficiente de variación.
58.3 Variable normalizada.
58.4 Aplicación al análisis, interpretación y comparación de datos estadísticos.
59. Series estadísticas bidimensionales. Regresión lineal y correlación. Coeficiente de correlación. Regresión cuadrática y exponencial. Significado y aplicación al análisis, interpretación y comparación de datos estadísticos.
59.1 Series estadísticas bidimensionales.
59.2 Regresión lineal y correlación.
59.3 Coeficiente de correlación.
59.4 Regresión cuadrática y exponencial.
59.5 Significado y aplicación al análisis, interpretación y comparación de datos estadísticos.
60. Diferentes aproximaciones al concepto de probabilidad. Apuntes históricos. Leyes del azar. Espacio probabilístico.
60.1 Diferentes aproximaciones al concepto de probabilidad. Apuntes históricos.
60.2 Fenómenos aleatorios.
60.3 Leyes del azar.
60.4 Espacio probabilístico.
60.5 Sucesos.
61. Probabilidad condicionada e independencia estocástica. Probabilidad compuesta. Probabilidad condicionada. Probabilidad total. Teorema de Bayes. Independencia de sucesos.
61.1 Independencia de sucesos.
61.2 Probabilidad condicionada e independencia estocástica.
61.3 Probabilidad compuesta.
61.4 Probabilidad total.
61.5 Teorema de Bayes.
62. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. Características y tratamiento. Las distribuciones binomial y de Poisson. Aplicaciones.
62.1 Distribuciones de probabilidad de variable discreta.
62.2 Características y tratamiento.
62.3 La distribución binomial.
62.4 La distribución de Poisson.
62.5 Aplicaciones.
63. Distribuciones de probabilidad de variable continua. Características y tratamiento. La distribución normal. Aplicaciones.
63.1 Distribuciones de probabilidad de variable continua.
63.2 Características y tratamiento.
63.3 La distribución normal.
63.4 Aplicaciones.
64. Aproximación de la distribución binomial a la normal. Leyes de los grandes números. Significado. Teorema central del límite.
64.1 Aproximación de la distribución binomial a la normal.
64.2 Leyes de los grandes números.
64.3 Significado.
64.4 Teorema central del límite.
65. Condiciones de representatividad de una muestra. Tipos de muestreo. Tamaño de una muestra. Distribuciones relacionadas con el muestreo en poblaciones normales. Teorema de Fisher.
65.1 Condiciones de representatividad de una muestra.
65.2 Tipos de muestreo.
65.3 Tamaño de una muestra.
65.4 Distribuciones relacionadas con el muestreo en poblaciones normales.
65.5 Teorema de Fisher.
66. Estimación puntual paramétrica. Estimadores. Propiedades deseables. Métodos de obtención.
66.1 Estimación puntual paramétrica.
66.2 El concepto de estimador. Estimadores.
66.3 El error cuadrático medio.
66.4 Propiedades deseables.
66.5 Métodos de obtención.
67. Estimación por intervalos de confianza: Concepto, métodos de construcción y aplicaciones.
67.1 El concepto de intervalo de confianza.
67.2 Intervalos de confianza aproximados basados en el Teorema Central del Límite
67.3 Métodos de construcción de intervalos de confianza.
67.4 Determinación del mínimo tamaño.
67.5 Aplicaciones.
68. Contrastes de hipótesis. Hipótesis nula. Tipos de errores. Métodos de construcción de tests de hipótesis. Relación con los intervalos de confianza.
68.1 Concepto.
68.2 Hipótesis nula.
68.3 Tipos de errores.
68.4 Métodos de construcción de tests de hipótesis.
68.5 Relación con los intervalos de confianza.
69. La Matemática griega: Tales de Mileto. La escuela Pitagórica. Los Elementos de Euclides.
69.1 La Matemática griega.
69.2 Tales de Mileto.
69.3 La escuela Pitagórica.
69.4 Los Elementos de Euclides.
70. Las Matemáticas en el renacimiento: La iniciación del Álgebra en Europa. La influencia de la matemática árabe e hindú.
70.1 Las Matemáticas en el renacimiento.
70.2 La iniciación del Álgebra en Europa.
70.3 La influencia de la matemática árabe e hindú.
70.4 Descartes y la algebraización de la geometría.
70.5 Galois y la abstracción del álgebra.
71. Newton y Leibniz: la creación del cálculo diferencial. Las Matemáticas en el siglo XVIII.
71.1 Newton y Leibniz. Las primeras etapas del desarrollo del cálculo infinitesimal.
71.2 La creación del cálculo diferencial.
71.3 Las Matemáticas en el siglo XVIII.
72. La matemática en los siglos XIX y XX. Los retos y tendencias del siglo XXI.
72.1 La matemática en los siglos XIX y XX.
72.2 Los retos y tendencias del siglo XXI.
72.3 Matemáticos españoles y su aportación a la ciencia y a la didáctica.
73. La resolución de problemas como eje del aprendizaje de las Matemáticas. Estrategias y recursos.
73.1 La resolución de problemas como eje del aprendizaje de las Matemáticas.
73.2 Estrategias heurísticas y recursos en la resolución de problemas.
73.3 El Método de Polya.
73.4 Otros métodos de resolución de problemas.
73.5 Aplicación de la resolución de problemas a otros campos.
74. Matemática aplicada. Interrelación de las matemáticas con otros campos. Matemáticas en las ciencias, la industria, la economía y la sociología. Teoría de juegos. Modelización y Simulación.
74.1 La matemática aplicada.
74.2 Interrelación de las matemáticas con otros campos.
74.3 Matemáticas en las ciencias, la industria, la economía y la sociología.
74.4 Teoría de juegos.
74.5 Modelización y Simulación.
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